مشهور است که تانسور انحنا از مهمترین مفاهیم هندسی روی خمینه می باشد. شرایط مختلفی روی تانسور انحنا اعمال می شود که هر کدام از آن ها تعبیر هندسی یک مفهوم خارجی می باشد. موازی بودن تانسور انحنا شرط مشهوری است که فضاهای (موضعاً) متقارن را نتیجه می دهد. خمینه های موضعاً متقارن کاربردهای مختلفی در علوم مثل فیزیک کاربردی دارد. خمینه های با انحنای بازگشتی به عنوان تعمیمی از خمینه های موضعاً متقارن از اهمیت به خصوصی برخوردارند. پژوهشگران زیادی فضاهای با انحنای بازگشتی را مورد بررسی قرار داده اند. در این رساله خمینه های $4$-بعدی همگن شبه ریمانی با ایزوتروپی غیربدیهی با انحنای بازگشتی و خواص هندسی آن ها بررسی و ارائه شده است. در ادامه گروه های لی $4$-بعدی شبه ریمانی با انحنای بازگشتی غیربدیهی (غیر متقارن موضعی) ارائه شده است. هم چنین برای گروه های لی با انحنای بازگشتی خاصیت ریچی سولیتون مورد بررسی قرار گرفته است. مثال های موضعاً همدیس تخت برای گروه های لی با انحنای بازگشتی نیز ارائه شده است.
